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nombres complexes

Les logarithmes

  • estimation d'un log sans machine
  • extraire n'importe quelle racine de n'importe quel nombre - sans machine

calcul vetoriel

 

  • addition / soustraction
  • produit / quotient

 

 

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liens sur le web

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introduction aux nombres complexes : leçon 1

 

introduction


Un nombre complexe est composé d'une partie réelle (axe x) et d'une partie imaginaire (axe y)

Les nombres complexes sont très utilisés en électricité. Il permette de définir une amplitude et un angle de déphasage en même temps.

La technique de calcul des nombres comlexes est très similaire à celle des vecteurs.

Un nombre comlexe peut prendre 2 notations différentes :

notation polaire

V = amplitude . e j angle

exemple : S = S  e j phi

Vectphi.gif (2103 octets)

notation complexe

V = (Vx + jVy)

exemple . S = (P + jQ)

Vectima.gif (2251 octets)

note : Il existe d'autres types de notations. Par exemple : le j peut être remplacé par un i.

leçon 2

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introduction aux nombres complexes : leçon 2

 

le nombre imaginaire:

Dans les mathématiques traditionnelles, les nombres sont regroupés en familles :

  • les Entiers (positifs et négatifs : 3)
  • les fractions ( 3/7)
  • les irrationnelles ( p, 20,5  )
  • etc..

Toutefois avec ces nombres, il est impossible de calculer une racine carrée d'un nombre négatif (-20,5 , -1420,5).

On a donc imaginé un nombre qui se situe sur un autre axe que les nombres réels.

 

L'unité de ce nombre est  i (ou j) et vaut (-1)0,5   ( racine carrée de -1).

 

(-16)0,5 étant égale à (-1*16)0,5 = -10,5 * 160,5 cela nous donne donc :  4 * i  noté 4i ou 4j ou j4... Ce nombre est purement imaginaire.    Il est superposé à l'axe imaginaire.

 

Dans la pratique, il est plus courant qu'un nombre soit composé d'une partie réelle et d'une partie imaginaire. Cela devient donc un nombre complexe. ( un  nombre à deux dimensions selon illustration de la leçon1)  .

 

Il est bon de savoir que

  • 3i + 6i = 9i ( normal..)
  • 4i * 5 = 20i (normal..)
  • i * i = -1 ( le carré de la racine de -1 = -1)
  • i3 = -i; ( -1 * i)
  • i4 = 1 ( -1 * -1), on constate que le nombre obtenu tourne dans le plan formé par l'axe des réels ( X) et des imaginaires (Y).


leçon 3

 

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introduction aux nombres complexes : leçon 3

passer d'une notation à l'autre

notation polaire -> rectangle

Vréel  = | V| . cos angle

Vimaginaire= | V| . sin angle

exemple :P = |S| .cos phi , Q = |S| . sin phi

note : on parle aussi de S cis phi

 

 

notation rectangulaire-> polaire

|V| = ( Vr2 + Vi2)0,5

angle = arctangente Vi/Vr +k*p [rad]  

exemple :|S| = ( P2 + Q2)0,5

angle = arctangente Q/P +k*p

 

utilisation de la machine à calculer : P -> R

Casio

entrez l'amplitude

P -> R

entrez l'angle

= (affiche Réel)

X->Y (affiche imaginaire)

TI

entrez l'amplitude

X->Y

entrez l'angle

P->R (affiche Réel)

X->Y (affiche imaginaire)

utilisation de la machine à calculer : R -> P

Casio

entrez Réel

R -> P

entrez imaginaire

= (affiche amplitude)

X->Y (affiche angle)

TI

entrez Réel

X->Y

entrez imaginaire

R->P (affiche amplitude)

X->Y (affiche angle)

 

notation rectangulaire :Réel : Vr =  imaginaire :Vi =

notation polaire :                    |V| = angle =               degrés

modifiez un ou plusieur valeur, l'autre notation sera mise à jour automatiquement (cliquer une fois hors du champ text)

leçon 4

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introduction aux nombres complexes : leçon 4

 

opérations d'addition :

Pour additionner des nombres complexes, il faut additionner les valeurs réelles et les valeurs imaginaires :

A = a + bi;    B = c + di;    A + B = a+c     + i(b+d)

 

exemples :I1 = 3 + 5i;     I2 = 9 + 2i  ;    I1 + I2 = 3+9  + i(5+2)  = 12 + 7i

In= -(I1 + I2 + I3)

avec  I1= 10i ; I2 = 8,66 - 5i; I3= -8.66 - 5i ( courant triphasé 10A en phase avec les tensions)

In = 8,66 - 8.66 + i ( 10-5-5) = 0+0i  

 

 


opérations de soustraction :

Pour soustraire deux nombres complexes, il faut soustraire les valeurs réelles et les valeurs imaginaires :

A = a + bi;    B = c + di;    A - B = a-c     +   i(b-d)

 

exemples : F1 = 3 + 5i;      F2 = 9 - 2i  ;    F1 - F2 = 3-9  + i(5+2)  = -6 + 7i

Uph1 = 230 i,     Uph2 = 200 -115 i;      U12 = Uph1 -Uph2 = -200  + 230 +115i = -200 + 345 i [= 398 ej120]

 

N1 = + i                     - N2 =   + i                     =            + i

 

 

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introduction aux nombres complexes : leçon 5

 

opérations de multiplication

Pour multiplier des nombres complexes, il faut faire le produit des amplitudes et la somme des angles :

A = = |A| ejphi1;    B = |B| ejphi2;    A * B = |A|*|B| ejphi1 + phi2

 

exemples : I = 10 ej30      U = 230 ej0  ;     S = I * U == 10*230 ej0+30= 2300 ej30

     (donc S = 1991 + 1150i    ,     soit P = 1991 [W] et Q = 1150 [var] )

 

seconde méthode :

A = a + bi;    B = c + di;    A * B = ( a +bi) * ( c+ di) = ac + adi + bci +bdi2 =   ac-bd  + i(ad + bc)

      note : i2 = -1

I = 8,66 + 5i;    U = 230 + 0i;    S = I * U = (8,66 *230 - 5* 0) + ( 8,66*0 + 5 * 230)i = 1991 + 1150i

 

 


 

opérations de division :

Pour diviser deux nombres complexes, il faut faire le quotient amplitude et la différence des angles

A = = |A| ejphi1;    B = |B| ejphi2;    A / B = |A| / |B| ejphi1 - phi2

 

exemples : I = 10 ej60      U = 230 ej0  ;    Z = U / I = 230 / 10 ej0-60= 23 ej-60

 

 

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dsdem.gif (1088 octets)